7.4.3. F-критерий (критерий Фишера)

При обработке экспериментальных результатов в ряде случаев возникает необходимость сравнения выборочных дисперсий. Выдвигаемой при этом гипотезой является соответствие выборочных дисперсий одной генеральной. Т.е., если и — дисперсии, полученные при обработке двух серий наблюдений, то проверяется гипотеза, что . Чтобы отвергнуть гипотезу, нужно доказать, что и значимо различаются при выбранном уровне значимости.

В качестве критерия используется случайная величина . Распределение случайной величины при данном уровне значимости зависит только от степеней свободы , и , по которым подсчитывались выборочные дисперсии. При этом .

Рис. 7.3. График плотности распределения случайной величины F

В таблицах приводится значение для различных степеней свободы (, и ) при разных уровнях значимости. На рис. показан график плотности распределения F-критерия при различных и .

Для оценки расхождения между двумя дисперсиями рассчитывают величину делением большей дисперсии на меньшую.

— число степеней свободы всегда связано с большей дисперсией. Далее возможны два различных варианта.

1. если априори неизвестно, какая из генеральных дисперсий должна быть больше в случае их неравенства, используют двусторонние доверительные границы. Гипотеза о равенстве генеральных дисперсий отвергается с пятипроцентным уровнем значимости, если превышает табличное значение для 2,5-процентного уровня значимости.

2. Если известно, что не может быть меньше используется односторонняя доверительная граница. Гипотеза о равенстве и отвергается с 5-процентным уровнем значимости, если превышает табличное значение для 5-процентного уровня значимости.

При одном и том же уровне значимости (или, что то же самое, при одной и той же вероятности ошибок первого рода) односторонние критерии имеют намного меньшую вероятность ошибок второго рода, т.е. принятия гипотезы, в то время как она не верна. Поэтому перед проверкой статистических гипотез необходимо тщательно проанализировать ситуацию с тем, чтобы выяснить, можно ли воспользоваться более чувствительным односторонним критерием, или постановка задачи допускает применение лишь двусторонних критериев.