7.4.5. Выбор оптимальной продолжительности измерений препарата с фоном ифона

Точность определения скорости счета препарата за вычетом фона зависит от того, каким образом общее время измерения распределено между измерением препарата с фоном и измерением фона. Поэтому возникает задача выбора оптимального соотношения между временем измерения препарата с фоном и временем измерения фона, которое обеспечивало бы минимальную величину погрешности в определении скорости счета препарата при фиксированном . Рассмотрим выражение для абсолютной квадратической флуктуации скорости счета препарата за вычетом фона (в предположении, что рассеяние результатов обусловлено только статистическим характером распада и колебаний фона)

(7.45).

Продифференцируем (7.45):

(7.46).

Используя условие минимума погрешности, имеем

(7.47).

Так как общая продолжительность измерений постоянна, то

.

Подставляя в (7.47), находим

(7.48).

Используя полученное соотношение, можно рассчитать продолжительность измерений препарата с фоном и фона, необходимую для того, чтобы погрешность скорости счета препарата не превышала заданной величины. Пусть задана относительная флуктуация скорости счета при доверительной вероятности γ, равная

(7.49).

Эта формула получается путем деления выражения (7.45) на и умножения на коэффициент , соответствующий принятому уровню доверительной вероятности. Возводя в квадрат обе части (7.49) и используя соотношение (7.48) для подстановок

(7.50).

после несложных преобразований найдем:

(7.51).

Подчеркнем, что входящая в эти равенства величина выражена в долях единицы. С помощью формул (7.51) искомую продолжительность измерений препарата с фоном и фона находят следующим образом. Грубо измеряют в течение 1 мин скорости счета препарата с фоном и фона. Значения , , а также , соответствующее выбранному уровню доверительной вероятности , и заданное подставляют в формулы (7.51). Вычисленные значения и округляют до целого числа минут (обычно с избытком) и производят точные измерения в течение этих периодов времени.

Если полученное расчетное время измерения достаточно велико, то можно разбить его на несколько промежутков равной величины. Конечно, в отсутствие других источников погрешностей, кроме статистического характера распада и колебаний фона, увеличение числа измерений при сохранении их общей продолжительности не будет влиять на точность результатов. Тем не менее, такое разбиение может оказаться полезным хотя бы для проверки пуассоновского характера распределения результатов. В том, что препарат измерен с заданной точностью, можно убедиться, обрабатывая результаты измерений по формуле (7.49).

Пример. В результате предварительного определения скорости счета препарата с фоном и фона были получены значения = 1300 имп/мин и = 47 имп/мин. Рассчитаем продолжительность измерений препарата с фоном и фона, необходимую для того, чтобы относительная флуктуация скорости счета препарата при доверительной вероятности = 0,95 не превышала 3%. Подставляя , , = 0,03 и = 1,96 в формулы (7.51), находим:

;

.